Четыре сохраняющиеся величины делают основную работу: импульс (p = mv), когда внешняя сила не действует; механическая энергия (КЭ + ПЭ), когда действуют только консервативные силы; угловой момент, когда внешний момент не действует; масса — в обычных (не ядерных) взаимодействиях. Вместе они решают почти каждую учебную задачу.
Движение тела, брошенного под углом — параболический полёт
Бросьте что угодно с начальной скоростью v0 под углом θ к горизонту — и при пренебрежимом сопротивлении воздуха траектория станет параболой. Горизонтальное и вертикальное движения независимы: x(t) = v0 cosθ · t (постоянная горизонтальная скорость) и y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (равноускоренное вертикальное падение). Три итоговых результата следуют из этой кинематики: дальность R = v0² sin(2θ) / g, максимальная высота H = v0² sin²(θ) / (2g), время полёта T = 2v0 sinθ / g (для броска с уровня земли). Пример по умолчанию (v0 = 20 м/с, θ = 45°, g Земли = 9,81 м/с²) даёт vx = vy = 14,142 м/с, R = 40,775 м, H = 10,194 м и T = 2,883 с. Угол 45° даёт максимальную дальность на ровной поверхности при заданной скорости, а на Луне тот же бросок достигает R = 246,91 м, потому что гравитация в шесть раз слабее.
Свободное падение — три эквивалентные кинематические формы
Тело, отпущенное из состояния покоя, падает под действием постоянной гравитации, и есть три взаимозаменяемых соотношения: v = gt (мгновенная скорость в момент t), h = ½g t² (пройденное расстояние из покоя за время t) и v = √(2gh) (скорость после падения на расстояние h). Каждое — частный случай кинематических уравнений, и друг в друга они переводятся подстановкой. Пример по умолчанию (h = 100 м, Земля) даёт t = 4,515 с, v = 44,294 м/с и v = 159,46 км/ч — примерно предельная скорость парашютиста в устойчивом положении «звезда». Переключите на режим по времени, и падение за 3 секунды даёт d = 44,145 м и v = 29,43 м/с (около 105,95 км/ч). То же падение на Луне занимает t = 11,11 с и достигает лишь 17,97 м/с — то же падение, в шесть раз медленнее.
Наклонная плоскость — разложение гравитации на составляющие
Брусок массы m на склоне с углом θ испытывает силу тяжести W = mg, направленную вниз, но ускоряет его лишь составляющая вдоль поверхности; составляющая в поверхность компенсируется силой нормальной реакции. Разложение — дело геометрии: Fпараллельная = mg sinθ, нормальная N = mg cosθ. Трение добавляет сопротивление f = μN = μmg cosθ, направленное против движения; коэффициент кинетического трения μ лежит примерно от 0,04 (сталь по льду) до 0,8 (резина по резине). Результирующая сила вниз по склону равна Fрез = mg sinθ − μmg cosθ, отсюда ускорение a = g(sinθ − μ cosθ). Пример по умолчанию (m = 10 кг, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 м/с²) даёт W = 98,1 Н, N = 84,957 Н, Fпараллельная = 49,05 Н, f = 16,991 Н, Fрез = 32,059 Н и a = 3,206 м/с². Брусок соскальзывает вниз, потому что параллельная составляющая превышает трение. Увеличьте μ до 0,6, и результирующая сила станет отрицательной — брусок остаётся на месте (или скользит обратно вверх, если его подтолкнуть); трение победило. Угол, при котором трущийся брусок начинает скользить, равен arctan(μ) — угол трения; ниже него статическое трение удерживает брусок.
Второй закон Ньютона — F = m · a, три режима поиска
Второй закон Ньютона в скалярной форме: F = m · a — результирующая сила на тело равна его массе, умноженной на ускорение. По умолчанию (масса 10 кг, ускорение 5 м/с²) получаем F = 50 Н. Переключите выпадающий список, и та же панель найдёт массу (m = F / a), ускорение (a = F / m) или вес (W = m · g, с земной гравитацией 9,81 м/с²). Человек массой 70 кг имеет W = 686,7 Н на Земле и W = 113,4 Н на Луне — тот же человек, та же масса, но вес отличается в шесть раз, потому что гравитация в шесть раз слабее. Вес — это сила (ньютоны); масса — это количество вещества (килограммы).
Импульс и импульс силы — две сохраняющиеся величины
Движущееся тело несёт импульс p = mv — вектор, направленный вдоль скорости. Чтобы изменить импульс тела, нужен импульс силы J = FΔt = Δp, равный силе, действующей за время её приложения. Пример по умолчанию (m = 2 кг, v = 15 м/с, F = 50 Н, t = 0,5 с) даёт p = 30 кг·м/с, КЭ = 225 Дж, J = 25 Н·с, Δv = 12,5 м/с и конечную скорость vкон = 27,5 м/с, если импульс приложен по направлению движения. Тот же импульс, созданный меньшей силой за большее время («мягкий» захват), или большей силой за меньшее время («жёсткое» столкновение), даёт одно и то же изменение импульса. В замкнутой системе без внешних сил полный импульс сохраняется: тело 2 кг со скоростью 15 м/с, ударяющее неподвижное тело 1 кг, заканчивает с v1' = 5 м/с и v2' = 20 м/с (абсолютно упругий удар) или оба движутся с общей скоростью v = 10 м/с (абсолютно неупругий). Этот учёт лежит в основе любого анализа столкновений — от бильярда до протонных пучков.
Работа, энергия и мощность — сохраняющийся учёт
Когда сила перемещает тело на расстояние, она совершает работу W = F · d (скалярное произведение делает формулу точной и для сил под углом: учитывается только составляющая F вдоль d). Энергия, которой тело обладает благодаря движению, — кинетическая энергия КЭ = ½mv²; энергия, которой оно обладает благодаря положению в гравитационном поле, — потенциальная энергия ПЭ = mgh. Полная механическая энергия E = ½mv² + mgh сохраняется, когда действует только гравитация (без трения и приложенных сил) — поэтому маятник качается до одной и той же высоты на каждом цикле, а мяч, брошенный вверх, на обратном пути возвращается с той же скоростью, с которой был брошен. Мощность P = W / t измеряет скорость, с которой совершается работа. Пример по умолчанию (m = 5 кг, v = 10 м/с, h = 20 м, g = 9,81, F = 50 Н, d = 4 м, t = 2 с) даёт КЭ = 250 Дж, ПЭ = 981 Дж, полную механическую энергию = 1231 Дж, W = 200 Дж, P = 100 Вт и P = 0,1341 л.с.
Распространённые заблуждения
- Тяжёлые тела падают быстрее лёгких. В вакууме верно обратное: каждое тело ускоряется с одним и тем же g независимо от массы. Сопротивление воздуха нарушает равенство, потому что зависит от площади сечения, а не от веса: перо и молоток, уроненные вместе на Земле, долетают до пола в разное время, но на Луне (без воздуха) — одновременно, что показали вживую в миссии «Аполлон-15».
- Сила и скорость — одно и то же. Сила вызывает ускорение (F = ma); скорость — то, что получается от длительного действия силы. У застрявшей машины силы в колёсах есть, а скорость нулевая; шайба на гладком льду скользит с постоянной скоростью при нулевой результирующей силе.
- Импульс и кинетическая энергия — одно и то же. Оба обращаются в ноль в покое, но растут по-разному. Удвоение скорости удваивает импульс (p = mv), но учетверяет кинетическую энергию (КЭ = ½mv²). Грузовик массой 2 т на скорости 60 миль/ч имеет тот же импульс, что и легковой автомобиль массой 1 т на скорости 120 миль/ч, но вдвое больше кинетической энергии.
- «g» — это сила. g — ускорение свободного падения (м/с²). Сила тяжести на тело равна W = mg. Тело массой 1 кг весит 9,81 Н на Земле; на Луне — 1,62 Н, потому что g в шесть раз меньше.
Связанные инструменты: Калькулятор векторов для разложения сил и скоростей на компоненты, Электричество и цепи для контекста электромагнитной силы, Волны и колебания для колебательных родственников движения тела под углом, Вращение и момент силы для углового аналога прямолинейного движения и Термодинамика и теплота для энергетической стороны механики.
