Каждое измерение — это число с честным спутником: насколько мы можем быть уверены? У этого спутника две части: случайная погрешность, которую уменьшает повторение измерения, и систематическая погрешность — смещение, которое сохраняется, сколько бы раз вы ни измеряли. Честная запись любой величины поэтому имеет вид x ± u(x), где u — строго определённая неопределённость; знак ± — сокращение для «примерно этот диапазон с такой-то вероятностью». Четыре калькулятора этой панели охватывают рабочие инструменты: подсчёт значащих цифр (сокращённая запись точности), распространение неопределённостей через суммы, разности, произведения, частные и степени (исчисление ошибок), стандартное отклонение (насколько разбросаны данные) и совокупную неопределённость по методу GUM для нескольких независимых компонент.
Два вида погрешностей, два противоположных поведения: случайная погрешность уменьшается как корень из N (σ/√N), поэтому усреднение всегда помогает; систематическая погрешность вообще не уменьшается, поэтому калибровка важнее повторений. Измерение может иметь маленькую σ и всё равно быть неверным из-за смещения.
Значащие цифры — сокращённая запись точности
Значащая цифра — это цифра, в которой мы уверены; нули, которые дополняют число до принятого размера, — нет. Пять правил: (1) все ненулевые цифры значащие, (2) нули между ненулевыми значащие, (3) ведущие нули не значащие (они лишь задают положение десятичной точки), (4) конечные нули после десятичной точки значащие, (5) конечные нули без десятичной точки неоднозначны (используйте научную запись). Значение по умолчанию 0,0070800 поэтому имеет 5 значащих цифр (7, 0, 8, 0, 0) и читается как (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Запись 0,0070800 подразумевает ту же точность, что и запись 7,0800×10−3; запись 0,00708 подразумевает точность в тысячу раз меньше. Сокращение работает для учебных отчётов; для реального измерения честное число — неопределённость u, а значащие цифры — удобный способ выразить её, не записывая ± каждый раз.
Распространение погрешностей — исчисление ошибок
Для z = f(x, y) правило сложения независимых неопределённостей: σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Для четырёх рабочих операций это сводится к: сложению/вычитанию — абсолютные погрешности складываются в квадратуре σz = √(σx² + σy²); умножению/делению — относительные погрешности складываются в квадратуре σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); степени xn — относительная погрешность масштабируется на |n|: σz/z = |n|σx/x. Пример по умолчанию (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, сложение) даёт z = 15 и σz ≈ 0,36, или 15,00 ± 0,36 (около 2,4% относительно). Переход к умножению при тех же входных данных даёт z = 50 ± 2,5 (5% относительно) — те же значения ±, но совсем другое правило распространения; относительная неопределённость произведения равна сумме в квадратуре относительных неопределённостей. Абсолютные неопределённости — правильная «валюта» для сумм и разностей; относительные — для произведений и частных.
Стандартное отклонение — разброс данных
Стандартное отклонение σ — среднеквадратичное отклонение от среднего. Существуют две версии в зависимости от того, что представляют данные: генеральное σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) описывает разброс каждого члена известного множества; выборочное s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) оценивает разброс более широкой совокупности, из которой взята выборка. Пример по умолчанию (10 значений от 12,2 до 12,8 со средним 12,5) даёт генеральное σ ≈ 0,1732, выборочное s ≈ 0,1826 и SEM = s/√N ≈ 0,0577. Неопределённость самого среднего равна σ/√N (или s/√N для выборочной версии), поэтому усреднение 25 измерений одной величины уменьшает неопределённость в 5 раз по сравнению с одним измерением. Стандартное отклонение также используется в доверительных интервалах: для нормального распределения ±1σ содержит 68,3%, ±2σ — 95,5%, ±3σ — 99,7%.
Расширенная неопределённость — объединение всех источников
Когда у измерения несколько независимых источников погрешности (разрешение прибора, калибровка, повторяемость, дрейф температуры, влияние оператора), совокупная неопределённость по методу GUM равна uc = √(Σui²). Источники делятся на тип A (статистические, из данных) и тип B (все остальные, с неопределённостями, оценёнными суждением или по спецификации производителя); оба вносят вклад в uc одинаково. Коэффициент охвата k затем масштабирует интервал до выбранной доверительной вероятности: k = 1 для 68,3%, k = 2 для 95,5%, k = 2,58 для 99,0%, k = 3 для 99,7%. Пример по умолчанию (источники 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 мм, k = 2) даёт uc ≈ 0,1797 мм и U = k·uc ≈ 0,3595 мм при 95,5%. Итоговое значение становится (результат измерения ± 0,36) мм с этой доверительной вероятностью. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) — международный стандарт этой процедуры. Компоненты типа A берутся из статистики повторных отсчётов, типа B — из спецификаций приборов и суждений; оба объединяются одной и той же суммой в квадратуре.
Распространённые заблуждения
- Больше значащих цифр — точнее измерение. Только если эти цифры действительно получены из измерения. Длина «12,34567 м», записанная от руки, не точна до одной десятимиллионной — значащие цифры — способ передать точность, а не её выдумать. Указать ± честнее, чем заполнять выдуманными цифрами.
- Систематическую погрешность можно уменьшить усреднением. Наоборот: случайные погрешности усредняются как 1/√N, но систематическое смещение (неправильно откалиброванная шкала, смещённый ноль) остаётся, сколько бы измерений вы ни сделали. Выявляйте и устраняйте смещение, а не усредняйте его. Это ловушка «данные выглядят такими воспроизводимыми!» в сломанном эксперименте.
- Стандартное отклонение говорит об ошибке одного измерения. Оно характеризует разброс распределения, а не ошибку отдельного опыта. Стандартная ошибка среднего (s/√N) — подходящая величина, когда вы сообщаете, насколько хорошо знаете x̄ по выборке из N.
- Неопределённость всегда ± в последней цифре. Стандартное соглашение: «округлите неопределённость до одной (иногда двух) значащих цифр, затем округлите значение под неё». Измерение 12,345678 ± 0,234 следует записывать как 12,35 ± 0,23, а не 12,345678 ± 0,234.
Связанные инструменты: Статистика — для лежащих в основе вероятностных распределений, Механика — для экспериментальных установок, дающих числа, и Калькулятор — для алгебры распространения.
